1. Угол при основании равнобедренного треугольника ра- вен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на ри- сунке 2787 4. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90', ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника

Давай вспомним, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Обозначим угол при вершине за x.

Тогда:

\[57° + 57° + x = 180°\]
\[114° + x = 180°\]
\[x = 180° - 114°\]
\[x = 66°\]

Ответ: 66°

---

2. Градусная мера угла DCE (рис. 277)

На рисунке 277 у нас есть две параллельные прямые FA и KE, а секущая CD. Угол BDK равен 40°. Угол BDK и угол DCE являются соответственными углами при параллельных прямых FA и KE и секущей CD. Соответственные углы равны.

Следовательно, угол DCE равен углу BDK.

\[∠DCE = ∠BDK = 40°\]

Ответ: 40°

---

3. Градусная мера угла F (рис. 278)

Рассмотрим треугольник KMN. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Тогда угол KNM равен:

\[∠KNM = 180° - ∠MKN - ∠NMK\]
\[∠KNM = 180° - 72° - 24° = 84°\]

Угол KNM и угол PNF - вертикальные. Вертикальные углы равны.

Следовательно, угол PNF равен углу KNM:

\[∠PNF = ∠KNM = 84°\]

Рассмотрим треугольник PNF. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Тогда угол F равен:

\[∠F = 180° - ∠PNF - ∠NPF\]
\[∠F = 180° - 84° - 38° = 58°\]

Ответ: 58°

---

4. Найти катет AC

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, BM - биссектриса. Найдем катет AC, если BM = 6 см.

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол B:

\[∠B = 180° - ∠A - ∠C\]
\[∠B = 180° - 30° - 90° = 60°\]

Так как BM - биссектриса, то угол ABM равен углу CBM:

\[∠ABM = ∠CBM = \frac{1}{2}∠B = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\]

Рассмотрим треугольник ABM. В нем углы при стороне AM равны, следовательно треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 6 см.

Рассмотрим треугольник ABC. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, BC = \(\frac{1}{2}\) AB.

Тогда AB = 2BC.

AC можно найти по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]
\[(2BC)^2 = AC^2 + BC^2\]
\[4BC^2 = AC^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 3BC^2\]
\[AC = BC\sqrt{3}\]

AM + MC = AC, следовательно 6 + MC = BC\(\sqrt{3}\)

Рассмотри треугольник BСМ. Угол СВМ равен 30 градусам. Значит, СМ = ВМ/2 = 6/2 = 3.

Получается, АС = 6+3 = 9.

Тогда ВС = АС/\(\sqrt{3}\) = 9/\(\sqrt{3}\) = 3\(\sqrt{3}\)

Ответ: 9 см

Отлично! Ты хорошо поработал! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться!