Угол при основании равнобедренной трапеции равен 30°, а площадь трапеции равна 72 см². Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Решение:

Дано равнобедренная трапеция:

• Угол при основании $$\alpha = 30^{\circ}$$.
• Площадь $$S = 72$$ см².
• Найдем радиус вписанной окружности $$r$$.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна боковой стороне, умноженной на 2. Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а боковая сторона — $$c$$. Тогда $$a+b = 2c$$. Высота $$h$$ трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h = 2r$$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

• \[ S = \frac{a+b}{2} imes h \]

Подставим $$a+b = 2c$$ и $$h = 2r$$:

• \[ S = rac{2c}{2} imes 2r = c imes 2r \]

Из этой формулы выразим $$c$$:

• \[ c = \frac{S}{2r} = \frac{72}{2r} = \frac{36}{r} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания. Угол при основании равен 30°, а противолежащий катет — высота $$h$$.

• \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{c} \]
• \[ \sin(30^{\circ}) = \frac{h}{c} \]
• \[ 0.5 = \frac{2r}{c} \]
• \[ c = \frac{2r}{0.5} = 4r \]

Теперь приравняем два выражения для $$c$$:

• \[ 4r = \frac{36}{r} \]
• \[ 4r^2 = 36 \]
• \[ r^2 = \frac{36}{4} = 9 \]
• \[ r = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.