619. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а высота, проведённая к основанию, – 3√3 см. Найдите стороны треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол B равен 120°, а высота BD опущена на основание AC и равна $$3\sqrt{3}$$ см.

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны. Найдем углы при основании:

$$\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем угол A равен 30°, BD — высота (катет), и AB — боковая сторона (гипотенуза). Выразим сторону AD через тангенс угла A и высоту BD:

$$tg A = \frac{BD}{AD}$$ $$AD = \frac{BD}{tg A} = \frac{3\sqrt{3}}{tg 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$ (см)

3. Найдем основание AC:

$$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 9 = 18$$ (см)

4. Найдем боковую сторону AB. Зная угол A и катет BD, выразим гипотенузу AB через синус угла A:

$$sin A = \frac{BD}{AB}$$ $$AB = \frac{BD}{sin A} = \frac{3\sqrt{3}}{sin 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}$$ (см)

Таким образом, боковые стороны треугольника равны $$6\sqrt{3}$$ см, а основание равно 18 см.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$ см, 18 см