Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую остальные стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусную меру большей из этих дуг. Ответ запишите в градусах (в виде целого числа или конечной десятичной дроби).

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и угол B = 56°. На стороне AB как на диаметре построена полуокружность. Эта полуокружность пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому углы при основании AC равны:

$$ \angle A = \angle C = \frac{180° - 56°}{2} = \frac{124°}{2} = 62° $$

Так как AD и BE - хорды полуокружности, построенной на AB как на диаметре, то углы ADB и AEB - прямые углы (вписанные углы, опирающиеся на диаметр).

$$ \angle ADB = \angle AEB = 90° $$

Полуокружность разделена точками D и E на три дуги: AD, DE и EB. Градусная мера полуокружности равна 180°.

Угол DAB = 62°, значит дуга DE, заключенная между сторонами AC и BC, равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Угол DBA является внешним углом треугольника BEC и равен сумме двух углов, не смежных с ним:

$$ \angle DBA = \angle BCE + \angle BEC $$

Так как \(\angle BEC = 90°\) и \(\angle BCE = 62°\), то

$$ \angle DBA = 62° + 90° = 152° $$

Тогда дуга DE равна:

$$Дуга \,DE = 2*\angle A = 2 * 62° = 124°$$

Рассмотрим треугольник ADB. Угол DAB = 62°, угол ADB = 90°, следовательно, угол ABD = 180° - 90° - 62° = 28°.

Дуга AD, заключенная между стороной AC и диаметром AB, соответствует углу ABD, который равен 28°. Значит градусная мера дуги AD равна:

$$Дуга \,AD = 2 * \angle C = 2 * 62° = 124°$$

Аналогично рассмотрим треугольник ABE. Угол BAE = 62°, угол AEB = 90°, следовательно, угол ABE = 180° - 90° - 62° = 28°.

Угол ABE = 28°, значит дуга BE = 2 * 28° = 56°.

Так как вся полуокружность равна 180°, то дуга DE равна:

$$Дуга \,DE = 180° - Дуга \,AD - Дуга \,BE = 180° - 28° - 28° = 124° $$

Мы знаем, что угол \(\angle BAC = 62°\). Вписанный угол \(\angle BDA\) опирается на дугу BA. Значит, дуга BA равна \(2 \cdot 62° = 124°\).

Тогда градусные меры трех дуг, на которые делят полуокружность стороны AC и BC равны: \(AD, DE, EB\). Пусть дуга AD соответствует углу ABD = 28°, тогда дуга AD = 56°. Дуга DE соответствует углу DAE = 62°, тогда дуга DE = 124°. Дуга EB = 0°.

Пусть \(x, y, z\) - градусные меры дуг. Тогда:

$$x + y + z = 180°$$

Пусть AD = x, DE = y, EB = z.

$$Дуга AD = 56°$$ $$Дуга DE = 124°$$ $$Дуга EB = 0°$$

Большая из дуг равна 124°.

Внимание! В условии, вероятно, имелась в виду другая полуокружность, построенная на боковой стороне как на диаметре. В этом случае, дуга DE = 62°.

На стороне AB как на диаметре построена полуокружность. Эта полуокружность пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. В этом случае, углы ADB и BEC прямые. Тогда дуга AD = угол ABD = 28°. Дуга BE = угол BCE = 62°. Тогда дуга DE = 180 - 28 - 62 = 90°.

Наибольшая дуга - 90°

Ответ: 90