2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 5 см. Найдите основание этого треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где угол B = 120°. Высота AH проведена к боковой стороне BC и равна 5 см. Нужно найти основание AC.

1. Найдем углы при основании:

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны.

   Угол A = Угол C = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

   В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 90° - угол B = 90° - 30° = 60°.

3. Найдем сторону AB:

   Используем синус угла C в треугольнике ABH:

   \[\sin(\angle C) = \frac{AH}{AB}\]

   \[\sin(30^\circ) = \frac{5}{AB}\]

   \[\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}\]

   \[AB = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}\]

4. Найдем основание AC:

   Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то BC = 10 см.

   Теперь используем теорему синусов для треугольника ABC:

   \[\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}\]

   \[\frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{10}{\sin(30^\circ)}\]

   \[AC = \frac{10 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)}\]

   \[AC = \frac{10 \cdot (\sqrt{3}/2)}{1/2}\]

   \[AC = 10 \cdot \sqrt{3}\]

   \[AC = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см}\]

Ответ: Основание треугольника равно \[10\sqrt{3}\] см.