Уходя на работу, мама поручила Мише, Пете и Васе: а) подмести пол в прихожей; 6) помыть посуду; в) купить хлеба. Сколькими различными способами они могут распределить задания так, чтобы каждое задание делал кто-то один из ребят и при условии, чтобы каждый что-нибудь делал?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты распределения заданий между Мишей, Петей и Васей, учитывая, что каждое задание должен выполнить только один из них, и каждый должен выполнить хотя бы одно задание.

Всего есть 3 задания, и каждый из 3 ребят должен что-то сделать.

Каждое задание может быть выполнено одним из трех ребят, поэтому для каждого задания есть 3 варианта выбора исполнителя. Общее количество способов распределить задания без учета условия, что каждый должен что-то делать, равно $$3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$$.

Теперь нужно исключить варианты, когда кто-то из ребят не выполняет ни одного задания. Это можно сделать, используя принцип включения-исключения.

• Варианты, когда один из ребят не делает ничего:

  • Если один из ребят (например, Миша) ничего не делает, то два других (Петя и Вася) должны выполнить все 3 задания. Каждый из 3 заданий может быть выполнен одним из 2 ребят (Петей или Васей), то есть $$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$$ вариантов. Так как выбрать неработающего можно 3 способами (Миша, Петя или Вася), то общее количество таких вариантов $$3 \cdot 8 = 24$$.

• Варианты, когда два из ребят не делают ничего:

  • Если два из ребят (например, Миша и Петя) ничего не делают, то все 3 задания должен выполнить один Вася. Это возможно только одним способом. Так как выбрать двух неработающих можно 3 способами (Миша и Петя, Миша и Вася, Петя и Вася), то общее количество таких вариантов $$3 \cdot 1 = 3$$.

Таким образом, общее количество допустимых вариантов распределения заданий равно: $$27 - 24 + 3 = 6$$

Всего есть 6 способов распределить задания так, чтобы каждый что-нибудь делал.

Рассмотрим эти 6 вариантов:

1. Миша подметает, Петя моет посуду, Вася покупает хлеб.
2. Миша подметает, Вася моет посуду, Петя покупает хлеб.
3. Петя подметает, Миша моет посуду, Вася покупает хлеб.
4. Петя подметает, Вася моет посуду, Миша покупает хлеб.
5. Вася подметает, Миша моет посуду, Петя покупает хлеб.
6. Вася подметает, Петя моет посуду, Миша покупает хлеб.

Каждый из троих может выполнить любое из трех заданий. Необходимо, чтобы каждый ребенок был занят.

Первое задание можно отдать любому из трех (3 варианта). Второе задание можно отдать любому из оставшихся двух (2 варианта). Третье задание достается тому, кто еще ничего не делал (1 вариант).

Всего $$3 \times 2 \times 1 = 6$$ вариантов распределения.

Ответ: 6