Указание. Выразите СН из ДАСН И ДВСН, найдите х и выразите ЅДАВС Найдите наименьшую высоту в треугольнике со сто- ронами: 1) 5, 5, 6; 2) 13, 14, 15. Решение.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник со сторонами 5, 5, 6. Этот треугольник является равнобедренным, так как две стороны равны. Высота, проведенная к основанию, также является медианой. Обозначим высоту как h, а половину основания как x. Тогда x = 6 / 2 = 3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем: $$h^2 + x^2 = 5^2$$ $$h^2 + 3^2 = 25$$ $$h^2 = 25 - 9$$ $$h^2 = 16$$ $$h = \sqrt{16} = 4$$ Высота равна 4. Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$
2. Рассмотрим треугольник со сторонами 13, 14, 15. Для нахождения высоты воспользуемся формулой Герона для площади треугольника: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника. Полупериметр равен: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ Теперь найдем высоту, опущенную на сторону, равную 14: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$ $$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h$$ $$h = \frac{84 \cdot 2}{14} = \frac{168}{14} = 12$$ Высота равна 12. Найдем высоту, опущенную на сторону, равную 13: $$84 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h$$ $$h = \frac{84 \cdot 2}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.92$$ Найдем высоту, опущенную на сторону, равную 15: $$84 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$$ $$h = \frac{84 \cdot 2}{15} = \frac{168}{15} = 11.2$$ Наименьшая высота равна 11.2.

Ответ: 1) 4; 2) 11.2