324. Указать пару подобных треугольников и доказать их подобие (рис. 159).

Рассмотрим треугольники ADB и CDB.

AD = 20, DB = 18, AB = 36

CD = 9, DB = 18, BC = 10

Проверим пропорциональность сторон:

• $$ \frac{AD}{CD} = \frac{20}{9} $$
• $$ \frac{DB}{DB} = \frac{18}{18} = 1 $$
• $$ \frac{AB}{BC} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5} $$

Стороны не пропорциональны, значит эти треугольники не подобны.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

AB = 36, BD = 18, AD = 20

BC = 10, CD = 9, BD = 18

Вычислим отношения соответственных сторон:

• $$ \frac{AB}{BC} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5} $$
• $$ \frac{BD}{BD} = \frac{18}{9} = 2 $$
• $$ \frac{AD}{CD} = \frac{20}{x} $$

Треугольники ABD и BCD подобны, если выполняется пропорциональность сторон:

• $$ \frac{BC}{BD} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} $$
• $$ \frac{BD}{AD} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} $$
• $$ \frac{CD}{AB} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$

Вывод: треугольники ABD и BCD не подобны.

Рассмотрим треугольники DBC и DBA:

DC = 9, CB = 10, BD = 18

DB = 18, BA = 36, AD = 20

Проверим пропорциональность сторон:

• $$ \frac{DC}{DB} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $$
• $$ \frac{CB}{BA} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} $$
• $$ \frac{BD}{AD} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} $$

Вывод: треугольники DBC и DBA не подобны.

Из рисунка видно, что углы \(\angle\)DBC и \(\angle\)DBA - не равны, углы \(\angle\)DCB и \(\angle\)DAB - тоже не равны.

Треугольники BCD и ABD не подобны, так как не выполняется условие подобия по двум углам.

Ответ: На рисунке 159 нет подобных треугольников.