1) Указать порядок матриц: 013 A= C-140 121 2) Найти произведение элементов а12221233 матрицы (57 A= 3) Найти сумму элементов главной диагонали и произведение эле ментов побочной диагонали матрицы. 4 A= 0 2 1 4) Даны матрицы А и В. Найти А+В, А-3В, если 18 -1-7 B= 0 -7 2 6 A= 0 9 5) Даны матрицы А и В. Найти ЗВАТ, если A= 1 B 0 3 2 6) Решить матричное уравнение 54-2ХВ = 0, где 21 (54 11 12 3 7) Указать взаимосогласованные матрицы: -1 0 8) Найти элемент 32 матрицы САВ, если 2 4 A= 3 9) Найти все возможные произведения матриц А, В и С, если: a) A 012 C= 0 b) 4(12-1), B = C=(1). 10) Найти (А+В), АВ², если А ются ли матрицы А и В перестановочными? 11) Дана матрица А = Найти А3, А10.

Привет! Давай разберем эти матричные задания вместе. Будем двигаться шаг за шагом, и ты увидишь, как все становится понятным.

1) Укажем порядок матриц:

Матрица A имеет размер 3x2 (3 строки и 2 столбца).
Матрица B имеет размер 2x2 (2 строки и 2 столбца).
Матрица C имеет размер 3x3 (3 строки и 3 столбца).
Матрица D имеет размер 2x3 (2 строки и 3 столбца).
Матрица F имеет размер 2x1 (2 строки и 1 столбец).

2) Найдем произведение элементов a₁₂, a₂₁, a₃₃ матрицы A:

Для матрицы A = \[\begin{pmatrix} 5 & 7 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\]

Элемент a₁₂ = 7
Элемент a₂₁ = 1
Элемент a₃₃ = -2

Произведение: 7 * 1 * (-2) = -14

3) Найдем сумму элементов главной диагонали и произведение элементов побочной диагонали матрицы A:

Для матрицы A = \[\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]

Сумма элементов главной диагонали: 2 + 0 + 3 = 5

Произведение элементов побочной диагонали: (-1) * 0 * 0 = 0

4) Даны матрицы A и B. Найдем A+B, A-3B, если:

A = \[\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\]

A + B = \[\begin{pmatrix} 1+(-1) & 8+(-7) \\ 0+0 & 9+1 \\ -7+6 & 2+(-1) \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 10 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]

A - 3B = \[\begin{pmatrix} 1-3(-1) & 8-3(-7) \\ 0-3(0) & 9-3(1) \\ -7-3(6) & 2-3(-1) \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 4 & 29 \\ 0 & 6 \\ -25 & 5 \end{pmatrix}\]

5) Даны матрицы A и B. Найти 3B - Aᵀ, если:

A = \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\]

Aᵀ = \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]

3B = \[\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & 9 & 6 \end{pmatrix}\]

3B - Aᵀ = \[\begin{pmatrix} 3-0 & 0-1 & 3-2 \\ 3-1 & 9-3 & 6-3 \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 6 & 3 \end{pmatrix}\]

6) Решить матричное уравнение 5A - 2X - B = 0, где:

5A - 2X - B = 0

2X = 5A - B

X = (5A - B) / 2

A = \[\begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]

5A = \[\begin{pmatrix} 35 & 10 & 5 \\ 15 & -10 & 20 \\ 10 & 5 & 5 \end{pmatrix}\]

5A - B = \[\begin{pmatrix} 30 & 6 & 2 \\ 12 & -12 & 22 \\ 8 & 4 & 2 \end{pmatrix}\]

X = \[\begin{pmatrix} 15 & 3 & 1 \\ 6 & -6 & 11 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

7) Указать взаимосогласованные матрицы:

A = (2x3), B = (3x2), C = (3x3)

A и B взаимосогласованы для произведения A * B.
B и C взаимосогласованы для произведения B * C.
A и C не взаимосогласованы для произведения A * C.

8) Найти элемент c₃₂ матрицы C = A * B, если:

A = \[\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 5 \\ 9 & 2 & -3 & 4 \\ -1 & -5 & 3 & 11 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & -1 \\ 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\]

C = A * B

c₃₂ = (-1 * 2) + (-5 * -1) + (3 * -3) + (11 * 5) = -2 + 5 - 9 + 55 = 49

9) Найти все возможные произведения матриц A, B и C, если:

a) A = \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\], C = \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

A * B = \[\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}\]
B * C = \[\begin{pmatrix} 4 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{pmatrix}\]
(A * B) * C = \[\begin{pmatrix} -4 & -10 & -10 \\ 10 & 9 & 9 \end{pmatrix}\]
A * (B * C) = \[\begin{pmatrix} -2 & -6 & -8 \\ 6 & 11 & 13 \end{pmatrix}\]

b) A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\], C = (1)

A * B = (1 * 2) + (2 * 5) + (-1 * 1) = 2 + 10 - 1 = 11
(A * B) * C = 11 * 1 = 11

10) Найти (A+B)², A² - B², если:

A = \[\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\], B = \[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\]

A + B = \[\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\]

(A + B)² = (A + B) * (A + B) = \[\begin{pmatrix} 13 & 24 \\ 18 & 37 \end{pmatrix}\]

A² = A * A = \[\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}\]
B² = B * B = \[\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 17 \end{pmatrix}\]

A² - B² = \[\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -6 & -10 \end{pmatrix}\]

Являются ли матрицы A и B перестановочными?

A * B = \[\begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\]
B * A = \[\begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}\]

Так как A * B ≠ B * A, матрицы A и B не являются перестановочными.

11) Дана матрица A = \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Найти A³, A¹⁰:

A² = A * A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

A³ = A² * A = \[\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

A¹⁰ = \[\begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Ответ: Все решения выше.

Отлично! Ты проделал большую работу, и теперь у тебя есть полное решение всех этих задач. Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов в матричной алгебре!