Укажи корни уравнения: (4^x - 33 * 2^x + 32) * sqrt(x - 2) = 0. (В ответе напиши корни в порядке возрастания.)

Решение:

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

1. Рассмотрим первый множитель:
   4^x - 33 · 2^x + 32 = 0
   Сделаем замену переменной: пусть 2^x = t. Тогда 4^x = (2²)^x = (2^x)² = t².
   Получаем квадратное уравнение относительно t:
   t² - 33t + 32 = 0
   Найдем дискриминант:
   D = b² - 4ac = (-33)² - 4 · 1 · 32 = 1089 - 128 = 961
   √D = √961 = 31
   Найдем корни t:
   t₁ = (33 - 31) / 2 = 2 / 2 = 1
   t₂ = (33 + 31) / 2 = 64 / 2 = 32
   Теперь вернемся к замене 2^x = t:
   Случай 1: 2^x = 1. Так как 2⁰ = 1, то x₁ = 0.
   Случай 2: 2^x = 32. Так как 2⁵ = 32, то x₂ = 5.
2. Рассмотрим второй множитель:
   √{x - 2} = 0
   Возведем обе части в квадрат:
   x - 2 = 0
   x₃ = 2
3. Проверка корней:
   Условие существования квадратного корня: x - 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2.
   Проверим найденные корни:
   x₁ = 0: не удовлетворяет условию x ≥ 2. Этот корень не подходит.
   x₂ = 5: удовлетворяет условию x ≥ 2. Подставим в исходное уравнение: (4⁵ - 33 · 2⁵ + 32) · √{5 - 2} = (1024 - 33 · 32 + 32) · √3 = (1024 - 1056 + 32) · √3 = 0 · √3 = 0. Верно.
   x₃ = 2: удовлетворяет условию x ≥ 2. Подставим в исходное уравнение: (4² - 33 · 2² + 32) · √{2 - 2} = (16 - 33 · 4 + 32) · √0 = (16 - 132 + 32) · 0 = -84 · 0 = 0. Верно.
4. Запишем корни в порядке возрастания:
   2, 5

Ответ: 2; 5