Разберем каждое предложение, чтобы выявить ошибки в написании частиц:
1. «И всё-таки она вертится!» – Здесь всё написано верно, частица «всё-таки» пишется через дефис.
2. «Ты таки добился своего.» – Здесь «таки» пишется слитно, когда стоит после слова, к которому относится, и имеет усилительное значение. Правильно: «Ты всё-таки добился своего» или «Ты таки добился своего» (если «таки» в значении «всё-таки»). В данном предложении допустимо написание «таки» отдельно, но лучше слитное написание.
3. «Едвали мы встретимся сегодня.» – Правильно: «Едва ли мы встретимся сегодня». Частица «едва ли» пишется раздельно.
4. «Кое-кто не хочет, чтобы его узнали.» – Здесь всё верно, «кое» пишется через дефис в составе неопределенных местоимений и наречий.
5. «Мы будем молчать кое-о-чём.» – Здесь всё верно, «кое» пишется через дефис.
6. «Знаешь ли ты кого-либо из людей на этом фото?» – Здесь всё верно, частица «ли» пишется раздельно.
7. «Как бы мне сейчас хотелось оказаться дома!» – Здесь всё верно, частица «бы» пишется раздельно.
8. «Свари ка мне суп.» – Здесь всё верно, частица «ка» пишется раздельно.
9. «Мы все учились понемногу чему нибудь и как нибудь. (А. С. Пушкин)» – Здесь всё верно, «-нибудь» пишется через дефис.
10. «Кто-нибудь может объяснить мне, что здесь произошло?» – Здесь всё верно, «-нибудь» пишется через дефис.
11. «Не гонялся бы ты, поп, за дешевизной. (А. С. Пушкин)» – Здесь всё верно, частица «бы» пишется раздельно.
Таким образом, случаи неверного написания частиц:
* Едвали мы встретимся сегодня. (Правильно: Едва ли)