Грамматически правильное продолжение: «жители Галича называли Мстислава Храброго Красным Солнышком».
Деепричастный оборот «благодаря своему избавителю» относится к подлежащему «жители Галича», которое обозначает действующее лицо.
Ответ: жители Галича называли Мстислава Храброго Красным Солнышком.