Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам \( \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} \) на отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \).

Решение:

Нам нужно найти количество точек на тригонометрической окружности, которые соответствуют углам вида \( \frac{\pi n}{4} \) для целых значений \( n \), и находятся в интервале \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \).

1. Преобразуем интервал: \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} \). Таким образом, интервал выглядит как \( [\frac{8\pi}{4}; \frac{14\pi}{4}] \).
2. Подберем значения n: Мы ищем такие целые \( n \), чтобы \( \frac{8\pi}{4} \le \frac{\pi n}{4} \le \frac{14\pi}{4} \). Умножив все части неравенства на \( \frac{4}{\pi} \), получаем \( 8 \le n \le 14 \).
3. Перечислим значения n: Возможные целые значения \( n \) в этом диапазоне: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
4. Найдем соответствующие углы:
• При \( n=8 \): \( \frac{8\pi}{4} = 2\pi \)
• При \( n=9 \): \( \frac{9\pi}{4} \)
• При \( n=10 \): \( \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} \)
• При \( n=11 \): \( \frac{11\pi}{4} \)
• При \( n=12 \): \( \frac{12\pi}{4} = 3\pi \)
• При \( n=13 \): \( \frac{13\pi}{4} \)
• При \( n=14 \): \( \frac{14\pi}{4} = \frac{7\pi}{2} \)
5. Уникальные точки: Все эти углы соответствуют разным точкам на тригонометрической окружности, так как они отличаются друг от друга на величину, не кратную \( 2\pi \) (за исключением \( 2\pi \) и \( 3\pi \), но они входят в интервал).

Всего таких значений \( n \) семь. Следовательно, на тригонометрической окружности будет 7 точек.

Ответ: 7