Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

Нам нужно найти значения \( x \) из отрезка \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \), удовлетворяющие уравнению \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Подставим различные значения \( n \) и проверим, попадает ли \( x \) в заданный отрезок.

• При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{4} \). Это значение меньше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \). Это значение меньше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \). Проверим, входит ли это значение в отрезок \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \): \( \pi = \frac{4\pi}{4} \), \( \frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} \). Так как \( \frac{4\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4} \le \frac{10\pi}{4} \), то \( x = \frac{7\pi}{4} \) входит в отрезок.
• При \( n = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{-\pi + 12\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \). Проверим, входит ли это значение в отрезок \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \): \( \pi = \frac{4\pi}{4} \), \( \frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} \). Так как \( \frac{11\pi}{4} > \frac{10\pi}{4} \), то \( x = \frac{11\pi}{4} \) не входит в отрезок.

Дальнейшее увеличение \( n \) будет давать значения \( x \), еще большие, чем \( \frac{11\pi}{4} \), и они тоже не будут входить в отрезок.

Следовательно, единственный корень, принадлежащий отрезку \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \), это \( \frac{7\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{7\pi}{4} \).