Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда.

Решение:

Чтобы десятичное число 30 имело ровно три значащих разряда в системе счисления с основанием \( N \), нам нужно найти наименьшее \( N \) такое, что \( N^2 \le 30 < N^3 \).

Проверим предложенные варианты:

• Если \( N = 3 \): \( 3^2 = 9 \) и \( 3^3 = 27 \). Условие \( 9 \le 30 < 27 \) не выполняется, так как \( 30 \) не меньше \( 27 \).
• Если \( N = 4 \): \( 4^2 = 16 \) и \( 4^3 = 64 \). Условие \( 16 \le 30 < 64 \) выполняется.
• Если \( N = 5 \): \( 5^2 = 25 \) и \( 5^3 = 125 \). Условие \( 25 \le 30 < 125 \) выполняется.

Наименьшее основание, при котором число 30 имеет три разряда, — это 4. В системе счисления с основанием 4 число 30 записывается как \( 132_4 \), что имеет три значащих разряда (1, 3, 2).

Проверка:

• \( 1 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0 = 1 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 16 + 12 + 2 = 30 \)

Число \( 30 \) в системе счисления с основанием 3 записывается как \( 1010_3 \), что имеет четыре разряда.

Ответ: 4