Укажите неравенство, которое не имеет решений.

Решение:

Для того чтобы квадратное неравенство \( ax^2 + bx + c < 0 \) или \( ax^2 + bx + c > 0 \) не имело решений, нужно проанализировать дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) и направление ветвей параболы (коэффициент \( a \)).

• 1) \( x^2 - x + 56 < 0 \)
  Здесь \( a = 1 \) (ветви вверх), \( c = 56 \), \( b = -1 \).
  Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 · 1 · 56 = 1 - 224 = -223 \).
  Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола лежит выше оси \( Ox \). Следовательно, \( x^2 - x + 56 \) всегда больше нуля. Неравенство \( x^2 - x + 56 < 0 \) решений не имеет.
• 2) \( x^2 - x - 56 > 0 \)
  Здесь \( a = 1 \) (ветви вверх).
  Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 · 1 · (-56) = 1 + 224 = 225 \> 0 \).
  Так как \( D > 0 \), неравенство имеет решения.
• 3) \( x^2 - x - 56 < 0 \)
  Здесь \( a = 1 \) (ветви вверх).
  Дискриминант: \( D = 225 > 0 \).
  Так как \( D > 0 \), неравенство имеет решения.
• 4) \( x^2 - x + 56 > 0 \)
  Здесь \( a = 1 \) (ветви вверх), \( D = -223 < 0 \).
  Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола лежит выше оси \( Ox \). Следовательно, \( x^2 - x + 56 \) всегда больше нуля. Неравенство \( x^2 - x + 56 > 0 \) имеет решения (все действительные числа).

Ответ: 1)