Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) x² + 6x-51 > 0 2) x² + 6x-51<0 3) x² + 6x + 51 > 0 4) x² + 6x + 51 < 0

Решение:

Чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, проанализируем каждое из них. Для квадратного трёхчлена \( ax^2 + bx + c \) решения зависят от знака дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и знака коэффициента \( a \).

1. Неравенство 1: \( x^2 + 6x - 51 > 0 \)
   Дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51) = 36 + 204 = 240 \). \( D > 0 \), значит, есть два действительных корня. Так как \( a = 1 > 0 \), парабола направлена ветвями вверх, и неравенство \( > 0 \) имеет решения (внешность промежутков между корнями).
2. Неравенство 2: \( x^2 + 6x - 51 < 0 \)
   Дискриминант: \( D = 240 > 0 \). Так как \( a = 1 > 0 \), парабола направлена ветвями вверх, и неравенство \( < 0 \) имеет решения (интервал между корнями).
3. Неравенство 3: \( x^2 + 6x + 51 > 0 \)
   Дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 36 - 204 = -168 \). \( D < 0 \). Так как \( a = 1 > 0 \) и дискриминант отрицательный, парабола целиком лежит над осью \( Ox \). Следовательно, \( x^2 + 6x + 51 \) всегда больше нуля для любого \( x \). Это неравенство имеет решения.
4. Неравенство 4: \( x^2 + 6x + 51 < 0 \)
   Дискриминант: \( D = -168 < 0 \). Так как \( a = 1 > 0 \) и дискриминант отрицательный, парабола целиком лежит над осью \( Ox \). Это означает, что \( x^2 + 6x + 51 \) всегда положительно и никогда не может быть меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: 4