Укажите номера верных утверждений: 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 3) Треугольник ABC, у которого AB=5, BC=6, AC=7, является остроугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

Разберем каждое утверждение:

1. Утверждение 1: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

   Это неверное утверждение. Правильная формулировка теоремы косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Здесь используется синус вместо косинуса.

2. Утверждение 2: Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

   Проверим по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза. $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$. Тогда $$c = \sqrt{169} = 13$$. Это верное утверждение.

3. Утверждение 3: Треугольник ABC, у которого AB=5, BC=6, AC=7, является остроугольным.

   Чтобы проверить, является ли треугольник остроугольным, нужно проверить, выполняется ли неравенство $$a^2 + b^2 > c^2$$ для всех сторон треугольника, где c - наибольшая сторона. В нашем случае, наибольшая сторона AC = 7.

   Проверим: $$5^2 + 6^2 > 7^2$$. Это значит $$25 + 36 > 49$$, или $$61 > 49$$. Это верно. Теперь нужно проверить для других сторон, но достаточно проверить для наибольшей стороны. Если для наибольшей стороны условие выполняется, то треугольник остроугольный.

   Треугольник является остроугольным.

4. Утверждение 4: В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

   Это верное утверждение. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза. Тогда $$a^2 = c^2 - b^2$$.

Таким образом, верные утверждения: 2, 3 и 4.