1108. Укажите область определения и найдите нули функции: б) y = (4x^2 + 25x) / (2x - sqrt(10-6x))

Область определения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$10-6x \ge 0 \implies 6x \le 10 \implies x \le \frac{5}{3}$$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $$2x - \sqrt{10-6x}
   e 0 \implies 2x
   e \sqrt{10-6x}$$.
3. Возводим обе части в квадрат: $$4x^2
   e 10-6x \implies 4x^2 + 6x - 10
   e 0 \implies 2x^2 + 3x - 5
   e 0$$.
4. Корни уравнения $$2x^2 + 3x - 5 = 0$$ равны $$x=1$$ и $$x=-\frac{5}{2}$$.
5. Учитывая условие $$x \le \frac{5}{3}$$, получаем, что $$x
   e 1$$ и $$x
   e -\frac{5}{2}$$.
6. Область определения: $$x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{5}{2}, 1) \cup (1, \frac{5}{3}]$$.

Нули функции:

1. Приравниваем числитель к нулю: $$4x^2 + 25x = 0 \implies x(4x+25) = 0$$.
2. Корни: $$x=0$$ и $$x=-\frac{25}{4}$$.
3. Проверяем корни на принадлежность области определения: $$x=0$$ принадлежит области определения. $$x=-\frac{25}{4} = -6.25$$, что меньше $$\frac{5}{3} \approx 1.67$$ и не равно $$1$$ или $$-\frac{5}{2}=-2.5$$.
4. Нули функции: $$x=0$$ и $$x=-\frac{25}{4}$$.