1. Укажите пары накрест лежащих, односторонних и со ответственных углов на рисунке. 2. Дано: ∠1=∠2. Доказать: a||b 3. Дано: AD || BC, ∠ACB-50°, АС - биссектриса ∠BAD. Найдите ∠ABC. 4. На сторонах АВ ВС, АС треугольника отмечены точки Т. Р. М соответственно; ZMPC-31°, ZABC 52°, ZATM 52°. а) Найдите угол ТМР. б) Докажите, что прямые МР и ВТ имеют одну общую точку. 5. Даны два взаимно перпендикулярных диаметра окруж ности, из которых один делит хорду пополам. Докажите, что хорда и другой диаметр параллельны.

Разберем задачи по геометрии из контрольной работы для 7 класса.

Задача 1

На рисунке нужно указать пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов. К сожалению, рисунок не позволяет точно определить, какие углы имеются в виду, поскольку отсутствует нумерация углов. В общем виде:

• Накрест лежащие углы: углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, лежащие по разные стороны от секущей и между прямыми.
• Односторонние углы: углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, лежащие по одну сторону от секущей и между прямыми.
• Соответственные углы: углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, лежащие по одну сторону от секущей, один внутри, другой снаружи между прямыми.

Задача 2

Дано: ∠1 = ∠2. Доказать: a || b

Доказательство: Если ∠1 = ∠2 и они являются соответственными углами при прямых a и b и секущей c, то по признаку параллельности прямых, прямые a и b параллельны.

Задача 3

Дано: AD || BC, ∠ACB = 50°, AC - биссектриса ∠BAD. Найти ∠ABC.

Решение:

1. Т.к. AD || BC, то ∠CAD = ∠ACB = 50° (как накрест лежащие углы).
2. Т.к. AC - биссектриса ∠BAD, то ∠BAC = ∠CAD = 50°.
3. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 50° + 50° = 100°.
4. В треугольнике ABC: ∠BAC = 50°, ∠ACB = 50°, следовательно, ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 50° - 50° = 80°.

Ответ: ∠ABC = 80°

Задача 4

На сторонах AB, BC, AC треугольника отмечены точки T, P, M соответственно; ∠MPC = 51°, ∠ABC = 52°, ∠ATM = 52°.

a) Найдите угол TMP.

Решение:

В треугольнике MPC: ∠MPC = 51°, ∠MCP = 180° - ∠ACB. Нужно найти ∠ACB. Мы не можем найти ∠TMP, не зная дополнительных свойств или соотношений между углами и сторонами.

б) Докажите, что прямые MP и BT имеют одну общую точку.

Доказать, что прямые MP и BT имеют одну общую точку, можно, если они пересекаются. Для этого нужно больше информации о расположении точек и углах. Без дополнительных данных это утверждение нельзя доказать.

Задача 5

Даны два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, из которых один делит хорду пополам. Докажите, что хорда и другой диаметр параллельны.

Доказательство:

Пусть AB и CD - два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Пусть диаметр CD делит хорду EF пополам в точке K. Т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то CD перпендикулярен EF. Т.к. AB перпендикулярен CD и CD перпендикулярен EF, то AB || EF.

Ответ: Задача решена.