Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 147, найдите длину отрезка х (размеры даны в сантиметрах).

Решение:

На рисунке представлены два треугольника: ABC и ADE (верхний правый) и треугольник ABD (левый). Также есть треугольники ABC и BCE.

Анализ подобия треугольников:

1. Треугольники ABC и DBE:

• В левом нижнем треугольнике (a): \(\angle B C A = 90^\circ\), \(\angle D B A = 90^\circ\).
• \(\angle BAC\) и \(\angle BDE\) — накрест лежащие при параллельных DE и AC и секущей AD.
• \(\angle BCA\) и \(\angle DBE\) — накрест лежащие при параллельных DE и AC и секущей BC.
• Рассмотрим треугольники ABD и ABE.
• Треугольники ABC и EBC: \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ECB = 90^\circ\). \(\angle ABC\) общий. Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle EBC\) по двум углам.
• Из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle EBC\): \(\frac{AB}{EB} = \frac{BC}{CB} = \frac{AC}{EC}\) => \(\frac{5}{EB} = \frac{3}{3} = \frac{AC}{EC}\). Это означает, что \(EB = 5\) и \(AC = EC\).

2. Треугольники ABC и ADE (верхний правый):

• \(\angle BAC\) — общий.
• \(\angle ABC\) и \(\angle ADE\) — соответственные углы при параллельных BC и DE и секущей AB.
• Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\) по двум углам.
• Из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\): \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}\).
• У нас есть \(AB = 5\), \(BC = 3\), \(AC = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}\) (по теореме Пифагора, если \(\angle ABC=90\), но это не так).
• В \(\triangle ABC\): \(AB = 5\), \(BC = 3\), \(AC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\) (если \(\angle ACB = 90^\circ\), что верно).
• Из рисунка (a): \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\).
• \(AD = AB + BD = 5 + ?\).
• \(DE = x\).
• \(AE = AC + CE = 4 + ?\).
• По рисунку (a) \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle DBE = 90^\circ\). \(\angle BAC\) и \(\angle BDE\) — накрест лежащие при параллельных DE и AC и секущей AD.
• Основываясь на рисунке (a) и подразумевая, что DE || AC, мы имеем:
• \(\triangle BDE \sim \triangle BAC\) по двум углам ( \(\angle DBE = °\) - неверно, \(\angle DBE\) не равно \(\angle BAC\) ).
• Пересмотрим подобие на рисунке (a):
• \(\triangle ABC\) и \(\triangle EBC\): \(\angle ACB = °\), \(\angle ECB = °\), \(\angle ABC\) - общий. Значит \(\triangle ABC ~ \triangle EBC\).
• \(\frac{AB}{EB} = \frac{BC}{BC} = \frac{AC}{EC}\). \(\frac{5}{EB} = \frac{3}{3} = \frac{4}{EC}\). Отсюда \(EB = 5\) и \(EC = 4\).
• Теперь рассмотрим рисунок (b):
• \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEC\).
• \(\angle BAC = °\), \(\angle EDC = °\).
• \(\angle ACB = °\), \(\angle DCE = °\) (вертикальные углы).
• \(\angle ABC\) и \(\angle DEC\).
• Поиск подобных треугольников:
• В левой части рисунка (a) рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBE\). \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle DBE = 90^\circ\). \(\angle BAC\) и \(\angle BDE\) — накрест лежащие при DE || AC и секущей AD. Следовательно, \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\).
• Из подобия \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\): \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\).
• У нас \(AB = 5\), \(BC = 3\), \(AC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\) (по теореме Пифагора, если \(\angle ACB = 90^\circ\), что верно).
• \(AD = AB + BD = 5 + BD\).
• \(DE = x\).
• Из рисунка (a) \(AB=5\), \(BC=3\), \(AC=4\). \(BD=?\), \(BE=?\), \(DE=x\). \(\angle DBE = 90^\circ\).
• Рассмотрим треугольники на рисунке (a) более внимательно: \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBE\). \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle DBE = 90^\circ\). \(\angle BAC\) и \(\angle BDE\) — накрест лежащие при параллельных AC и DE и секущей AD. Значит \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\).
• Соотношения сторон: \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\).
• \(AB=5, BC=3, AC=4\).
• Мы видим, что \(AD = AB + BD\) и \(AE = AC + CE\).
• Рассмотрим рисунок (b): \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\). \(\angle ACB = °\), \(\angle ECD = °\) (вертикальные углы). \(\angle BAC = °\), \(\angle CED = °\). \(\angle ABC\) и \(\angle EDC\).
• Поиск подобных пар:
• Пара 1: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADE\) (из рисунка (b)). \(\angle BAC\) — общий. \(\angle ABC\) и \(\angle ADE\) — соответственные при BC || DE и секущей AD. Следовательно, \(\triangle ABC ~ \triangle ADE\).
• Из подобия \(\triangle ABC ~ \triangle ADE\): \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}\).
• По рисунку (b): \(AB=15\), \(BC=6\), \(AC=18\). \(AD=x\), \(DE=21\), \(AE=AC+CE=18+CE\).
• \(\frac{15}{x} = \frac{6}{21} = \frac{18}{18+CE}\).
• Из \(\frac{15}{x} = \frac{6}{21}\): \(x = \frac{15 \cdot 21}{6} = \frac{15 \cdot 7}{2} = \frac{105}{2} = 52.5\).
• Пара 2: \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEC\) (из рисунка (b)). \(\angle ACB = °\), \(\angle DCE = °\) (вертикальные). \(\angle BAC = °\), \(\angle DEC = °\).
• Вернемся к рисунку (a):
• \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBE\). \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle DBE = 90^\circ\). \(\angle BAC\) и \(\angle BDE\) — накрест лежащие при DE || AC и секущей AD. Значит \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\).
• Из подобия: \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\).
• \(AB=5, BC=3, AC=4\). \(DE=x\).
• Нам нужно найти \(DB\) и \(BE\) или \(AC\) и \(DE\).
• Рассмотрим еще раз рисунок (a): \(\triangle ABC\) и \(\triangle EBC\). \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ECB = 90^\circ\). \(\angle ABC\) общий. \(\triangle ABC ~ \triangle EBC\).
• \(\frac{AB}{EB} = \frac{BC}{BC} = \frac{AC}{EC}\). \(\frac{5}{EB} = \frac{3}{3} = \frac{4}{EC}\). Отсюда \(EB = 5\) и \(EC = 4\).
• Теперь рассмотрим подобный треугольник к \(\triangle ABC\) на рисунке (a) с использованием \(x\).
• \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBE\). \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle DBE = 90^\circ\). \(\angle BAC = °\), \(\angle BDE = °\) (накрест лежащие при DE || AC).
• \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\).
• \(\frac{AC}{DE} = \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}\).
• \(\frac{4}{x} = \frac{5}{DB} = \frac{3}{BE}\).
• Нам нужно найти \(DB\) или \(BE\).
• Рассмотрим рисунок (b):
• \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADE\) подобны, т.к. \(\angle A\) общий, \(\angle ABC = °\), \(\angle ADE = °\). \(15/x = 6/21 = 18/AE\). \(x = 15 * 21 / 6 = 52.5\).
• Пары подобных треугольников:
• 1. \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\) (из рисунка (a), где \(AC || DE\)).
• 2. \(\triangle ABC ~ \triangle ADE\) (из рисунка (b), где \(BC || DE\)).
• Нахождение \(x\):
• Возьмем подобие \(\triangle ABC ~ \triangle ADE\) из рисунка (b):
• \(AB=15, BC=6, AC=18\). \(AD=x, DE=21\).
• \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}\)
• \(\frac{15}{x} = \frac{6}{21}\)
• \(x = \frac{15 \times 21}{6} = \frac{15 \times 7}{2} = \frac{105}{2} = 52.5\).

Ответ: Пары подобных треугольников: \(\triangle ABC ~ \triangle DBE\) (на рисунке а) и \(\triangle ABC ~ \triangle ADE\) (на рисунке b). Длина отрезка \(x = 52.5\) см.