89 14. Укажите подобные треугольники на рисунке 29, а-з и найдите длину отрезка, обозначенную буквой х. Четырехугольник ABCD является параллелограммом.

a)

Рассмотрим треугольники BXE и CAE.

Угол BEX = угол CEA как вертикальные.

Угол EBX = угол ECA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Следовательно, треугольники BXE и CAE подобны по двум углам (первый признак подобия).

Составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{BE}{AE} = \frac{BX}{AC} = \frac{EX}{EC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{2}{5} = \frac{x}{3}$$

Решим пропорцию:

$$5 \cdot x = 2 \cdot 3$$

$$5x = 6$$

$$x = \frac{6}{5} = 1,2$$

Ответ: x = 1,2

---

б)

Рассмотрим треугольники ABM и MBE.

Угол B - общий.

$$\frac{AB}{MB} = \frac{7}{x}$$

$$\frac{BM}{BE} = \frac{x}{3}$$

$$\angle BME = \angle A = 90°$$

Если треугольники подобны, то выполняется условие:

$$\frac{AB}{MB} = \frac{BM}{BE}$$

$$\frac{7}{x} = \frac{x}{3}$$

$$x^{2}=21$$

$$x = \sqrt{21}$$

Ответ: $$x = \sqrt{21}$$

---

г)

Рассмотрим треугольники ВКЕ и ВНА.

Угол В - общий.

Если треугольники подобны, то выполняется условие:

$$\frac{BH}{BE} = \frac{BA}{BK}$$

$$\frac{4}{6} = \frac{x}{7}$$

$$6 \cdot x = 4 \cdot 7$$

$$6x = 28$$

$$x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}$$

Ответ: $$x = 4 \frac{2}{3}$$

---

д)

Рассмотрим треугольники ADE и CDE

Если четырехугольник ABCD - параллелограмм, то AD = BC = 5, AB = CD = 4.

$$\frac{AD}{CD} = \frac{DE}{DE} = \frac{AE}{CE}$$

$$\frac{5}{4} = \frac{x}{1}$$

$$4 \cdot x = 5 \cdot 1$$

$$4x = 5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1,25$$

Ответ: x = 1,25

---

ж)

Рассмотрим треугольники ACK и ABK

$$\frac{AK}{AK} = \frac{AC}{AB} = \frac{CK}{BK}$$

$$\frac{AC}{AB} = \frac{CK}{BK}$$

$$\frac{2}{4} = \frac{x}{2}$$

$$4 \cdot x = 2 \cdot 2$$

$$4x = 4$$

$$x = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ: x = 1

---

з)

Рассмотрим треугольники DEx и AEB

$$\frac{DE}{AE} = \frac{Ex}{EB} = \frac{Dx}{AB}$$

$$\frac{DE}{AE} = \frac{Dx}{AB}$$

$$\frac{5}{x} = \frac{4}{3}$$

$$4 \cdot x = 5 \cdot 3$$

$$4x = 15$$

$$x = \frac{15}{4} = 3,75$$

Ответ: x = 3,75

---