Укажите показатель степени с основанием 4, если эта степень равна значению выражения 16^-3 * 16^0 * 1/64 ------------------- (2^-7)^8

Решение:

Для начала упростим числитель и знаменатель выражения.

Числитель:

\( 16^{-3} \cdot 16^0 \cdot \frac{1}{64} \)

Учитывая, что \( 16^0 = 1 \) и \( 64 = 16 \cdot 4 = 16 \cdot 16^{1/2} = 16^{3/2} \) или \( 64 = 2^6 \) и \( 16 = 2^4 \) , преобразуем:

\( 16^{-3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{16^{3/2}} = 16^{-3} \cdot 16^{-3/2} = 16^{-3 - 3/2} = 16^{-9/2} \)

Знаменатель:

\( (2^{-7})^8 \)

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m n} \):

\( 2^{-7 8} = 2^{-56} \)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь. Преобразуем основание 16 в основание 2, так как \( 16 = 2^4 \):

\( 16^{-9/2} = (2^4)^{-9/2} = 2^{4 (-9/2)} = 2^{-18} \)

Итак, дробь равна:

\( \frac{2^{-18}}{2^{-56}} \)

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 2^{-18 - (-56)} = 2^{-18 + 56} = 2^{38} \)

Нам нужно указать показатель степени с основанием 4. Так как \( 4 = 2^2 \), мы можем переписать \( 2^{38} \) следующим образом:

\( 2^{38} = (2^2)^{19} = 4^{19} \)

Показатель степени с основанием 4 равен 19.

Ответ: 19