Укажите правильный ответ. Чему равна сумма корней уравнения \(\frac{x^3-3x^2-4x+12}{x-3}=0\)?

Решим уравнение $$\frac{x^3-3x^2-4x+12}{x-3}=0$$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, имеем систему:

$$\begin{cases} x^3-3x^2-4x+12=0 \\ x-3
e 0\end{cases}$$

Решим первое уравнение системы:

$$x^3-3x^2-4x+12=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x-3)-4(x-3)=0$$

$$(x-3)(x^2-4)=0$$

$$(x-3)(x-2)(x+2)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x-3=0$$ или $$x-2=0$$ или $$x+2=0$$

$$x_1=3;\ x_2=2;\ x_3=-2$$

Решим второе уравнение системы:

$$x-3
e 0$$

$$x
e 3$$

Следовательно, корень $$x_1=3$$ не является решением исходного уравнения.

Тогда корнями уравнения являются только $$x_2=2$$ и $$x_3=-2$$.

Найдем сумму корней уравнения:

$$x_2+x_3=2+(-2)=0$$

Ответ: 0