Укажите правильный ответ. В 9:00 катер вышел из пункта А вниз по течению реки. Проплыв 12 км, катер сделал остановку на 3 часа. Затем вернулся в пункт А в 17:00. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 1 км/ч.

Ответ: 5 км/ч

Решение:

Пусть x – собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость катера по течению реки равна (x + 1) км/ч, а против течения – (x - 1) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, составляет \(\frac{12}{x+1}\) часов, а против течения – \(\frac{12}{x-1}\) часов.

Катер вышел в 9:00 и вернулся в 17:00, при этом он стоял 3 часа. Следовательно, время в пути составило 17 - 9 - 3 = 5 часов.

Составим уравнение: \[\frac{12}{x+1} + \frac{12}{x-1} = 5\]

Приведём к общему знаменателю: \[\frac{12(x-1) + 12(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 5\] \[\frac{12x - 12 + 12x + 12}{x^2 - 1} = 5\] \[\frac{24x}{x^2 - 1} = 5\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 1\): \[24x = 5(x^2 - 1)\] \[24x = 5x^2 - 5\] \[5x^2 - 24x - 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676\]

Корни уравнения: \[x_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 \cdot 5} = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5\] \[x_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 \cdot 5} = \frac{24 - 26}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч