Решение:
В русском языке существует правило для приставок за-/загора-, за-/загар-. В корне с чередованием -гор-/-гар-, если ударение падает на корень, пишется а (загар, загорелый), а если ударения нет — о (гореть, погаснуть).
Проанализируем варианты:
- Он был одет казаком и отрастил себе бороду. — Здесь в приставке отр-, а не чередующийся корень.
- Синие глаза его загорались веселым насмешливым огнем. — Здесь ударение падает на корень -гар-, поэтому пишется а.
- Над замком зарисовался тонкий серп луны, загорелись звёзды. — Здесь ударение падает на окончание, поэтому в корне пишется о.
- Ливень идёт пока стороной, и огонь успевает хорошо разгореться. — Здесь также в корне -гор-, поэтому пишется о.
Ответ: Синие глаза его заг...рались веселым насмешливым огнем.