Правильный ответ: Мой товарищ ТАК(ЖЕ) поступил в институт.
Разберем каждое предложение:
1. Мы решили провести лето ТАК(ЖЕ), как и в прошлом году. Здесь "так же" можно заменить на "аналогично", и есть "как", что указывает на сравнение. Следовательно, пишем раздельно.
2. ЧТО(БЫ) он сделал, если бы поездка не состоялась. Здесь "что бы" - это союз "что" и частица "бы", а не союз "чтобы". Поэтому пишем раздельно.
3. Отец писал мало и все одно и ТО(ЖЕ). Здесь "то же" можно заменить на "то самое". Пишем раздельно.
4. Мой товарищ ТАК(ЖЕ) поступил в институт. Здесь "также" можно заменить на "и", и нет сравнения. Следовательно, пишем слитно.