Производный предлог – это предлог, образованный от другой части речи (существительного, наречия, глагола).
Посмотрим на предложенные варианты:
* **По реке (НА)ПЕРЕГОНКИ плыли байдарки.** – Здесь «на перегонки» – это наречное выражение, а не предлог.
* **(В)ПОСЛЕДСТВИ.. по множеству рассказов были восстановлены различные эпизоды, подробности этого боя.** – «В последствии» - это наречие.
* **(В)ПРОДОЛЖЕНИ.. фильма будет новая сюжетная линия.** – «В продолжении» - это существительное с предлогом.
* **Я опасался дождя и спросил мнения Дерсу (НА)СЧЁТ погоды.** – Здесь «на счёт» – это предлог, образованный от существительного «счёт».
Таким образом, правильный ответ: Я опасался дождя и спросил мнения Дерсу (НА)СЧЁТ погоды.