Краткое пояснение: Деепричастный оборот не выделяется запятыми, если он тесно связан по смыслу со сказуемым и по значению приближается к наречию.
Разбираемся:
- Шаг 1: Анализ предложений:
- Безоблачное небо сияя навевало настроение безмятежности.
- Их отец выслужив офицерский чин оставил им в наследство приличную деревеньку.
- Позабытый самовар гудя шипя и подпрыгивая устремился к выходу на веранду.
- Сельский почтальон мчался по дороге сломя голову и что-то кричал.
- Шаг 2: Выбор предложения, где деепричастный оборот не нужно обособлять:
В предложении «Сельский почтальон мчался по дороге сломя голову и что-то кричал» деепричастный оборот «сломя голову» тесно связан со сказуемым «мчался» и имеет значение наречия (быстро, стремительно). В данном случае оборот не обособляется.
Ответ: Сельский почтальон мчался по дороге сломя голову и что-то кричал.