Разберем каждое предложение и найдем ошибки:
1. **Благодаря стараний опытного доктора больной быстро поправлялся.** Ошибка! Правильно: "Благодаря стараниям". Предлог "благодаря" требует дательного падежа.
2. **Согласно плану конференции следующим выступающим был гость из столицы.** Здесь все верно.
3. **Вопреки предсказаний синоптиков зима была тёплая.** Ошибка! Правильно: "Вопреки предсказаниям". Предлог "вопреки" также требует дательного падежа.
4. **Благодаря наличию у предприятия автотранспорта для перевозки служащих специалисты всегда вовремя оказываются на объектах.** Здесь все верно.
5. **По приезде в город Чичиков поселился в гостинице.** Здесь все верно.
6. **Согласно расписанию поезд тронется в путь через двадцать пять минут.** Здесь все верно.
7. **Посевы были сделаны согласно указаний агронома.** Ошибка! Правильно: "согласно указаниям". Предлог "согласно" требует дательного падежа.
8. **По окончанию школы Николай поступил в университет.** Здесь все верно.
**Ответ:** Ошибки допущены в предложениях 1, 3 и 7. Предлоги "благодаря", "вопреки" и "согласно" требуют употребления существительных в дательном падеже.