Разберем каждое предложение, чтобы определить, где частицы НЕ и НИ употреблены верно:
1. "Он не мог не пить, не есть, не говорить." В этом предложении все частицы "не" употреблены верно. "Не мог не пить" - это двойное отрицание, означающее, что он должен пить. "Не есть, не говорить" - простое отрицание действий.
2. "Нет такого уголка на острове, где бы ни побывал путешественник." Здесь "ни" употреблено верно. В придаточном предложении с "где бы" используется "ни" для усиления отрицания (нет ни одного уголка, где бы он не побывал).
3. "Где я ни бывал, так это в Австралии." В этом предложении "ни" употреблено верно. Частица "ни" здесь используется для усиления утверждения, показывая, что из всех мест, где я бывал, Австралия особенно выделяется.
4. "За что ни возьмётся, все ему удаётся." Здесь "ни" употреблено верно. "Ни" в данном случае указывает на обобщение (что бы он ни делал).
5. "Чего только ни расскажут!" В этом предложении "ни" употреблено верно. Частица "ни" здесь усиливает экспрессивность высказывания, показывая удивление или возмущение.
6. "Куй железо, пока ни остыло." Здесь "ни" употреблено верно. В данном случае "ни" указывает на то, что не нужно начинать ковать железо до того момента, как оно остынет.
7. "Не может не взойти солнце на рассвете." В этом предложении все частицы "не" употреблены верно. "Не может не взойти" - двойное отрицание, означающее, что солнце обязательно взойдет.