Разберем предложения с деепричастными оборотами и определим, в каких допущены ошибки.
В данном предложении деепричастный оборот «сплетаясь и расплетаясь» относится к тропинкам, а не к деревьям, следовательно, деепричастный оборот употреблен верно.
В данном предложении деепричастный оборот «щёлкая зубами» относится к слову «собака», следовательно, деепричастный оборот употреблен верно.
В данном предложении деепричастие «изучая» относится к подлежащему «интерес», следовательно, деепричастный оборот употреблен неверно, так как деепричастие должно относиться к подлежащему, выраженному существительным или местоимением в именительном падеже.
Ответ: Изучая растения средней полосы, у меня появился интерес к этой проблеме.