Укажите решение квадратного неравенства 3х - x² ≤ x (3x - 1).

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

Сначала раскроем скобки и перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

1. Исходное неравенство:
   \[ 3x - x^2 \leq x (3x - 1) \]

2. Раскроем скобки справа:
   \[ 3x - x^2 \leq 3x^2 - x \]

3. Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным:
   \[ 0 \leq 3x^2 - x + x^2 - 3x \]
   \[ 0 \leq 4x^2 - 4x \]

4. Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы найти его корни, приравняем выражение к нулю:
   \[ 4x^2 - 4x = 0 \]
   Вынесем общий множитель \(4x\) за скобки:
   \[ 4x(x - 1) = 0 \]
   Отсюда получаем два корня:
   \[ 4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \]
   \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \]

5. Теперь нанесем эти корни на числовую прямую и определим знаки интервалов. Наше неравенство
   \[ 4x^2 - 4x \geq 0 \]
   (мы поменяли стороны местами, но знак неравенства остался тем же). Парабола \(y = 4x^2 - 4x\) ветвями направлена вверх, так как коэффициент при \(x^2\) (равный 4) положительный. Следовательно, значения функции будут положительными вне интервала между корнями и отрицательными внутри него.

Нам нужно, чтобы значение было больше или равно нулю, то есть
\[ x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) \]

Теперь посмотрим на предложенные варианты:

• Вариант 1) показывает интервал
  \[ (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \] (открытые интервалы).
• Вариант 2) показывает интервал
  \[ [0; 1] \] (закрытый интервал между корнями).
• Вариант 3) показывает интервал
  \[ [1; +\infty) \] (полуинтервал).
• Вариант 4) показывает интервал
  \[ (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) \] (объединение двух полуинтервалов).

Наш результат
\[ (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) \]
точно соответствует варианту 4).

Ответ: 4)