Укажите решение неравенства 10x - x^2 ≤ 0.

Решение:

Решим неравенство \( 10x - x^2 \le 0 \).

1. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(10 - x) \le 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(10 - x) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( 10 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 10 \).
3. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 10] \) и \( [10; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(10 - x) \) в каждом интервале:
   • Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(10 - (-1)) = -1(11) = -11 < 0 \).
   • Для \( 0 < x < 10 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(10 - 1) = 1(9) = 9 > 0 \).
   • Для \( x > 10 \) (например, \( x = 11 \)): \( 11(10 - 11) = 11(-1) = -11 < 0 \).
5. Так как нам нужно \( x(10 - x) \le 0 \), то подходят интервалы \( (-\infty; 0] \) и \( [10; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; 0] \cup [10; +\infty) \).