Укажите решение неравенства: $$3x - x^2 \le 0$$

Решение:

Решим неравенство \( 3x - x^2 \le 0 \).

1. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\( x(3 - x) \le 0 \)

2. Найдем корни уравнения \( x(3 - x) = 0 \):

\( x = 0 \) или \( 3 - x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3 \)

3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки интервалов.

Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( [0; 3] \), \( (3; +\infty) \).

Проверим знаки выражений:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(3 - (-1)) = -1(4) = -4 \) (отрицательно).
• При \( 0 < x < 3 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(3 - 1) = 1(2) = 2 \) (положительно).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4(3 - 4) = 4(-1) = -4 \) (отрицательно).

Нам нужны значения, где \( x(3 - x) \le 0 \), то есть отрицательные или равные нулю. Это интервалы \( (-\infty; 0] \) и \( [3; +\infty) \).

Ответ: 3) \((-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\)