13. Укажите решение неравенства х²-36 ≥ 0. 1) нет решений 2) (-6;6) 3) (-∞; -6] U [6; +∞) 4) (-∞; +∞) Ответ: 14. У Кости есть теннисный мячик. Он со всей силы бросил его об ас- фальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту, которая была в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока вы- сота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см? Ответ: 15. Точки А и Д являются серединами сторон MN и PN треугольника MNP соответствен- но. Отрезки MD и PA пересекаются в точке О, MD = 18, PA = 24 (см. рис. 105). Найдите MO. Ответ: 16. Отрезки MN и KP являются хордами окружности. Найдите длину хорды KP, если MN = 40, а расстояние от центра окружности до хорд MN и KP соответственно равны 21 и 20. Ответ: 17. В треугольнике ABC угол C равен 102° (см. рис. 106). Найдите внеш- ний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах. Ответ: 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхуголь- ник (см. рис. 107). Найдите его площадь. Ответ:

Предварительный анализ

На изображении представлены задания по математике и геометрии для учеников средней школы (7-9 класс). Необходимо решить каждое из заданий, предоставив подробные решения.

13. Решение неравенства

Решим неравенство x² - 36 ≥ 0. Это квадратное неравенство, которое можно решить методом интервалов.

Сначала найдем корни уравнения x² - 36 = 0:

\[x^2 = 36\] \[x = \pm\sqrt{36}\] \[x = \pm 6\]

Корни уравнения: x₁ = -6 и x₂ = 6.

Теперь определим знаки выражения x² - 36 на интервалах, образованных этими корнями:

• x < -6: Например, x = -7. Тогда (-7)² - 36 = 49 - 36 = 13 > 0.
• -6 < x < 6: Например, x = 0. Тогда (0)² - 36 = -36 < 0.
• x > 6: Например, x = 7. Тогда (7)² - 36 = 49 - 36 = 13 > 0.

Таким образом, решение неравенства x² - 36 ≥ 0 это x ≤ -6 или x ≥ 6. В виде интервала это записывается как (-∞; -6] ∪ [6; +∞).

Ответ: 3) (-∞; -6] ∪ [6; +∞)

14. Высота отскока мячика

После первого отскока мячик подлетел на 450 см. Каждый следующий отскок в три раза меньше предыдущего. Нужно найти, после какого отскока высота станет меньше 20 см.

Высота после n-го отскока вычисляется как:

\[h_n = \frac{450}{3^{n-1}}\]

Нам нужно найти такое n, что h_n < 20:

\[\frac{450}{3^{n-1}} < 20\] \[3^{n-1} > \frac{450}{20}\] \[3^{n-1} > 22.5\]

Теперь подберем значение n:

• n = 1: 3⁰ = 1
• n = 2: 3¹ = 3
• n = 3: 3² = 9
• n = 4: 3³ = 27

При n = 4, 3^(4-1) = 27 > 22.5, значит, после 4-го отскока высота будет меньше 20 см.

Ответ: 4

15. Найти MO

Точки A и D являются серединами сторон MN и PN треугольника MNP соответственно. Отрезки MD и PA пересекаются в точке O. MD = 18, PA = 24. Найти MO.

Так как A и D – середины сторон MN и PN, то MD и PA – медианы треугольника MNP. Точка пересечения медиан (O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы MD:

\[\frac{MO}{OD} = \frac{2}{1}\]

Значит, MO = 2 * OD. Также известно, что MD = MO + OD = 18.

Подставим MO = 2 * OD в MD = MO + OD:

\[18 = 2 \cdot OD + OD\] \[18 = 3 \cdot OD\] \[OD = 6\]

Теперь найдем MO:

\[MO = 2 \cdot OD = 2 \cdot 6 = 12\]

Ответ: 12

16. Длина хорды KP

Отрезки MN и KP являются хордами окружности. MN = 40, расстояние от центра окружности до хорд MN и KP соответственно равны 21 и 20. Найдите длину хорды KP.

Пусть O - центр окружности, OA - расстояние от O до MN, OB - расстояние от O до KP. Тогда OA = 21, OB = 20.

Так как расстояние от центра до хорды перпендикулярно хорде и делит её пополам, то MA = AN = MN / 2 = 40 / 2 = 20.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. По теореме Пифагора:

\[OM^2 = OA^2 + AM^2\] \[OM^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841\] \[OM = \sqrt{841} = 29\]

Теперь рассмотрим хорду KP и прямоугольный треугольник OBK, где K - конец хорды KP. OK - радиус окружности, OB = 20.

По теореме Пифагора:

\[OK^2 = OB^2 + BK^2\] \[29^2 = 20^2 + BK^2\] \[841 = 400 + BK^2\] \[BK^2 = 441\] \[BK = \sqrt{441} = 21\]

Так как OB делит KP пополам, то KP = 2 * BK = 2 * 21 = 42.

Ответ: 42

17. Внешний угол при вершине C

В треугольнике ABC угол C равен 102°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол при вершине C является смежным с внутренним углом C. Сумма смежных углов равна 180°.

Внешний угол = 180° - внутренний угол C

\[\angle_{внеш} = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ\]

Ответ: 78

18. Площадь четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхугольник (см. рис. 107). Найдите его площадь.

Фигура представляет собой параллелограмм. Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту.

Основание (a) = 4 клетки

Высота (h) = 3 клетки

Площадь (S) = a * h = 4 * 3 = 12 квадратных клеток.

Так как каждая клетка имеет размер 1x1, то площадь равна 12.

Ответ: 12