Укажите решение неравенства \( x - x^2 \ge 0 \).

Решение:

Решим неравенство \( x - x^2 \ge 0 \).

1. Вынесем \(x\) за скобки: \( x(1 - x) \ge 0 \).
2. Найдем корни уравнения \( x(1 - x) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( 1 - x = 0 \) (что дает \( x = 1 \)).
3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражений в каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( -1(1 - (-1)) = -1(2) = -2 \) (минус).
• Интервал \( (0, 1) \): Возьмем \( x = 0,5 \). \( 0,5(1 - 0,5) = 0,5(0,5) = 0,25 \) (плюс).
• Интервал \( (1, +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( 2(1 - 2) = 2(-1) = -2 \) (минус).

Так как неравенство \( \ge 0 \), нам нужны интервалы, где знак "плюс", а также сами корни (точки, где выражение равно нулю).

Получаем интервал \( [0, 1] \).

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• 1) \( x \ge 1 \)
• 2) \( \lbrack 0; 1 \rbrack \)
• 3) \( x \le 0 \)
• 4) \( x \ge 0 \)

Наш результат соответствует варианту 2.

Ответ: 2