Укажите сходящиеся ряды Выберите один или несколько вариантов ответа ∑ n=1 ∞ arctg²n n²+1 ∑ n=1 ∞ narctg 1 n+1 ∑ n=1 ∞ arctg²n n+1 ∑ n=1 ∞ arctg 1 n+1

Для определения сходимости рядов воспользуемся признаками сравнения и признаком Даламбера.

1. Рассмотрим ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg^2(n)}{n^2+1}$$. Так как $$arctg(n) < \frac{π}{2}$$, то $$arctg^2(n) < \frac{π^2}{4}$$. Тогда $$\frac{arctg^2(n)}{n^2+1} < \frac{π^2}{4(n^2+1)}$$. Ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2+1}$$ сходится, следовательно, ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg^2(n)}{n^2+1}$$ также сходится по признаку сравнения.
2. Рассмотрим ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{n \cdot arctg(\frac{1}{n})}{n+1}$$. Так как $$\lim_{n \to ∞} arctg(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$$, то общий член ряда можно записать как $$\frac{n \cdot \frac{1}{n}}{n+1} = \frac{1}{n+1}$$. Ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n+1}$$ расходится (гармонический ряд), следовательно, ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{n \cdot arctg(\frac{1}{n})}{n+1}$$ также расходится по признаку сравнения.
3. Рассмотрим ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg^2(n)}{n+1}$$. Так как $$arctg(n) < \frac{π}{2}$$, то $$arctg^2(n) < \frac{π^2}{4}$$. Тогда $$\frac{arctg^2(n)}{n+1} < \frac{π^2}{4(n+1)}$$. Ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n+1}$$ расходится (гармонический ряд), следовательно, ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg^2(n)}{n+1}$$ также расходится по признаку сравнения.
4. Рассмотрим ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg(\frac{1}{n})}{n+1}$$. Так как $$\lim_{n \to ∞} arctg(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$$, то общий член ряда можно записать как $$\frac{\frac{1}{n}}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n^2+n}$$. Ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2+n}$$ сходится, так как он ведет себя как ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2}$$, который сходится. Следовательно, ряд $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg(\frac{1}{n})}{n+1}$$ также сходится по признаку сравнения.

Ответ: Сходятся ряды: $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg^2(n)}{n^2+1}$$ и $$∑_{n=1}^∞ \frac{arctg(\frac{1}{n})}{n+1}$$.