Укажите соответствие между функциями и их полными дифференциалами в точке (1,1): exy e(dx + dy) x+y² dx + 2dy xy dx + dy

Рассмотрим функции и их полные дифференциалы:

1. Функция: \[f(x, y) = e^{xy}\]

   Вычислим частные производные:

   • \[\frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy}\]
   • \[\frac{\partial f}{\partial y} = xe^{xy}\]

   Полный дифференциал: \[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = ye^{xy}dx + xe^{xy}dy\]

   В точке (1,1): \[df(1,1) = 1 \cdot e^{1 \cdot 1}dx + 1 \cdot e^{1 \cdot 1}dy = e(dx + dy)\]

   Соответствие: \[e^{xy} \leftrightarrow e(dx + dy)\]

2. Функция: \[f(x, y) = x + y^2\]

   Вычислим частные производные:

   • \[\frac{\partial f}{\partial x} = 1\]
   • \[\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\]

   Полный дифференциал: \[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = 1 \cdot dx + 2y \cdot dy\]

   В точке (1,1): \[df(1,1) = dx + 2(1)dy = dx + 2dy\]

   Соответствие: \[x + y^2 \leftrightarrow dx + 2dy\]

3. Функция: \[f(x, y) = xy\]

   Вычислим частные производные:

   • \[\frac{\partial f}{\partial x} = y\]
   • \[\frac{\partial f}{\partial y} = x\]

   Полный дифференциал: \[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy = y \cdot dx + x \cdot dy\]

   В точке (1,1): \[df(1,1) = 1 \cdot dx + 1 \cdot dy = dx + dy\]

   Соответствие: \[xy \leftrightarrow dx + dy\]

Ответ:

• Функция \[e^{xy}\] соответствует дифференциалу \[e(dx + dy)\]
• Функция \[x + y^2\] соответствует дифференциалу \[dx + 2dy\]
• Функция \[xy\] соответствует дифференциалу \[dx + dy\]

Ответ:

• \[e^{xy} \leftrightarrow e(dx + dy)\]
• \[x + y^2 \leftrightarrow dx + 2dy\]
• \[xy \leftrightarrow dx + dy\]

Ответ:

• \(e^{xy}\) - \(e(dx + dy)\)
• \(x + y^2\) - \(dx + 2dy\)
• \(xy\) - \(dx + dy\)