Для начала давайте вспомним, что такое определение. Определение — это второстепенный член предложения, который отвечает на вопросы: какой? какая? какое? какие? и обозначает признак предмета. Теперь посмотрим на каждый из вариантов:
1. «Первое, что я увидел в школьном вестибюле, было огромное объявление о традиционном «объединенном» вечере. ВНИЗУ чёрным по белому было написано: «В художественной части выступит лауреат Всероссийского конкурса С. Потапов».» - в данном случае, слово 'чёрным' является обстоятельством, так как отвечает на вопрос 'как?', а не 'каким?'
2. «Так, понятно... – подумал я. - Значит, он будет у всех на глазах демонстрировать СВОЁ искусство. Ему будут аплодировать. А папа продемонстрировать свое искусство у всех на глазах не сумеет. Ведь не сможет же он прямо на сцене вырезать кому-нибудь аппендицит!» - здесь слово 'своё' является определением, так как отвечает на вопрос чье? (искусство).
3. «Я давно уже знал этот способ: когда не хочется врать, не хочется говорить «да» или «нет», надо вопросительно развести руки В СТОРОНЫ. Пусть думают что хотят!» - в этом предложении 'вопросительно' является обстоятельством образа действия, отвечающее на вопрос как?
4. «Я ВОПРОСИТЕЛЬНО развёл руки в стороны» - здесь 'вопросительно' - обстоятельство, отвечающее на вопрос 'как?'.
Итак, правильный ответ — это второй вариант, где выделенное слово «СВОЁ» является определением, уточняющим слово «искусство».