Укажите варианты раздельного написания НЕ.

Решение:

Раздельное написание частицы НЕ с разными частями речи зависит от смысла и грамматических особенностей.

• отвечать вовсе (не) искренне — Здесь НЕ с наречием пишется раздельно, так как есть слова «вовсе», «отнюдь», «нисколько», «ничуть», «никогда», «нигде» и т.д., усиливающие отрицание.
• (не) далеко, а близко — Здесь НЕ с наречием пишется раздельно, так как есть противопоставление с союзом «а».
• (не)лепые мысли — Здесь НЕ с прилагательным пишется слитно, потому что слово «лепые» без НЕ не употребляется.
• (не) крашеный забор — Здесь НЕ с причастием пишется раздельно, так как есть зависимое слово «забор» (не крашенный кем? чем? — им самим). Если бы было «крашеный» (как?) — «некрашеный», писалось бы слитно.
• (не)преодолимые преграды — Здесь НЕ с прилагательным пишется слитно, так как слово «преодолимые» без НЕ не употребляется.
• (не)замеченная вовремя опасность — Здесь НЕ с причастием пишется раздельно, так как есть зависимое слово «вовремя» (не замеченная когда? — вовремя).
• (не) уверенность в себе — Здесь НЕ с существительным пишется слитно, так как существительное «уверенность» без НЕ существует и имеет самостоятельное значение.

Ответ: отвечать вовсе (не) искренне, (не) далеко, а близко, (не) замеченная вовремя опасность.