В предложении "Вот мои условия: вы нынче же публично откажетесь от клеветы и будете просить у меня извинения" вторая часть раскрывает содержание первой, то есть поясняет, какие именно условия выдвигаются.
Ответ: вторая часть бессоюзного сложного предложения поясняет, раскрывает содержание первой части