Укажите верный ответ из предложенных:

Задание 1. Сумма углов выпуклого пятиугольника

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: \( S = (n-2) \cdot 180^\circ \). Для пятиугольника \( n=5 \).

\( S = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \).

Ответ: в) 540°.

Задание 2. Углы равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Если один из углов равен 100°, то смежный с ним угол при том же основании равен 100°, а углы при другом основании равны \( 180^ - 100^ = 80^ \).

Ответ: в) 70°, 70°, 120°.

Задание 3. Диагонали прямоугольника

В прямоугольнике диагонали равны. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю: \( d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Следовательно, \( d = \sqrt{100} = 10 \) см.

Ответ: б) 10 и 10 см.

Задание 4. Площадь ромба

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали. Одна диагональ \( d_1 = 6 \) см. Сторона ромба \( a = 5 \) см. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \) и гипотенузой \( a \). \( (\frac{6}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 5^2 \) \( 3^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 25 \) \( 9 + (\frac{d_2}{2})^2 = 25 \) \( (\frac{d_2}{2})^2 = 16 \) \( \frac{d_2}{2} = 4 \) \( d_2 = 8 \) см. Теперь найдем площадь: \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) см².

Ответ: б) 24 см².

Задание 5. Углы ромба

В ромбе ABCD, если \( \angle A = 70^\circ \), то смежный угол \( \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). Противоположные углы в ромбе равны, поэтому \( \angle C = \angle A = 70^\circ \) и \( \angle D = \angle ABC = 110^\circ \).

Ответ: б) 110°.

Задание 6. Меньшая сторона параллелограмма

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна \( a \) см, тогда большая сторона равна \( a+5 \) см. Периметр параллелограмма \( P = 2(a + (a+5)) = 2(2a+5) = 4a+10 \). По условию \( P=38 \) см. \( 4a+10 = 38 \) \( 4a = 28 \) \( a = 7 \) см.

Ответ: а) 7 см.

Задание 7. Площадь прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника равны \( AB \) и \( BC \). Биссектриса угла А пересекает сторону \( BC \) в точке Е. В прямоугольнике \( \angle B = 90^\circ \). Так как \( AE \) — биссектриса, то \( \angle BAE = \angle DAE = 45^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( ABE \) \( \angle AEB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Следовательно, треугольник \( ABE \) равнобедренный, \( AB = BE \). По условию \( BE = 4.5 \) см, значит \( AB = 4.5 \) см. Тогда \( BC = BE + CE = 4.5 + 5.5 = 10 \) см. Площадь прямоугольника \( S = AB \cdot BC = 4.5 \cdot 10 = 45 \) см².

Ответ: в) 45 см².

Задание 8. Углы ромба

Если диагональ ромба равна его стороне, то ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Следовательно, углы ромба равны 60° и 120°.

Ответ: б) 60°, 60°, 120°, 120°.

Задание 9. Осей симметрии ромба

Ромб, не являющийся квадратом, имеет две оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.

Ответ: б) n = 2.

Задание 10. Площадь ромба

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = a^2   \alpha \), где \( a \) — сторона ромба, \( \alpha \) — угол между сторонами. \( S = 8^2 \cdot \sin 60^\circ = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \) см².

Ответ: б) 32√3 см².

Задание 11. Площадь прямоугольника

В прямоугольном треугольнике, по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. \( c = 26 \) см, \( a = 24 \) см. \( a^2 + b^2 = c^2 \) \( 24^2 + b^2 = 26^2 \) \( 576 + b^2 = 676 \) \( b^2 = 676 - 576 = 100 \) \( b = \sqrt{100} = 10 \) см. Площадь прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120 \) см².

Ответ: а) 120 см².

Задание 12. Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза \( c=13 \) см), половиной основания (катет \( \frac{a}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) см) и высотой (катет \( h \)). По теореме Пифагора: \( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = c^2 \) \( h^2 + 12^2 = 13^2 \) \( h^2 + 144 = 169 \) \( h^2 = 169 - 144 = 25 \) \( h = \sqrt{25} = 5 \) см. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60 \) см².

Ответ: в) 60 см².

Задание 13. Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами: \( S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \). По условию \( a=14 \) см, \( h_a=12 \) см. \( S = 14 \cdot 12 = 168 \) см². Также \( b=21 \) см. Найдём высоту \( h_b \): \( 168 = 21 \cdot h_b \) \( h_b = \frac{168}{21} = 8 \) см.

Ответ: а) 8 см.

Задание 14. Площадь равнобедренной трапеции

Площадь трапеции находится по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота. Основания \( a=10 \) см, \( b=16 \) см. Боковая сторона \( c=5 \) см. В равнобедренной трапеции, проведя высоты из концов меньшего основания к большему, мы получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Основание большего прямоугольника равно меньшему основанию трапеции (10 см). Два равных отрезка на большем основании равны \( \frac{16-10}{2} = 3 \) см. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см (отрезок основания) и \( h \) (высота), а гипотенуза равна боковой стороне (5 см). По теореме Пифагора: \( h^2 + 3^2 = 5^2 \) \( h^2 + 9 = 25 \) \( h^2 = 16 \) \( h = 4 \) см. Теперь найдём площадь трапеции: \( S = \frac{10+16}{2} \cdot 4 = \frac{26}{2} \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52 \) см².

Ответ: б) 52 см².

Задание 15. Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Сторона квадрата \( a = 5\sqrt{2} \) см. \( S = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \) см².

Ответ: а) 50 см².