7. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ 5.474 Длина классной комнаты 12 м, ширина — 10 м и высота — 4 м. Найдите массу воздуха в этой комнате, если масса 1 дм³ воздуха равна \frac{13}{10} г. 475 Тело человека содержит в среднем 5 дм³ крови. В 1 мм³ крови около 5 млн красных кровяных телец (эритроцитов), каждый диаметром \frac{3}{400} мм. Какой длины был бы ряд эритроцитов, если бы все эритроциты уложили один за другим? 476 Проверьте равенства: \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}), \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}), \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) и т. д. Используя эти равенства, докажите: 2026/02/01 18:52 \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}.

Задание состоит из нескольких частей, выполню их последовательно.

5.474

Необходимо найти массу воздуха в классной комнате, если известны её размеры и масса 1 дм³ воздуха.

1. Найдем объем классной комнаты в м³:
   $$V = 12 \text{ м} \cdot 10 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} = 480 \text{ м}^3$$
2. Переведем м³ в дм³ (1 м = 10 дм, 1 м³ = (10 дм)³ = 1000 дм³):
   $$V = 480 \text{ м}^3 = 480 \cdot 1000 \text{ дм}^3 = 480000 \text{ дм}^3$$
3. Найдем массу воздуха в комнате, зная, что масса 1 дм³ воздуха равна \frac{13}{10} г:
   $$m = 480000 \text{ дм}^3 \cdot \frac{13}{10} \frac{\text{г}}{\text{дм}^3} = 48000 \cdot 13 \text{ г} = 624000 \text{ г}$$
4. Переведем граммы в килограммы (1 кг = 1000 г):
   $$m = 624000 \text{ г} = \frac{624000}{1000} \text{ кг} = 624 \text{ кг}$$

Ответ: 624 кг

---

5.475

Необходимо вычислить длину ряда эритроцитов, если их выложить в ряд.

1. Найдем общий объем крови в мм³:
   $$V = 5 \text{ дм}^3 = 5 \cdot (100 \text{ мм})^3 = 5 \cdot 100^3 \text{ мм}^3 = 5 \cdot 1000000 \text{ мм}^3 = 5000000 \text{ мм}^3$$
2. Найдем количество эритроцитов в этом объеме крови:
   $$N = 5000000 \text{ мм}^3 \cdot 5 \frac{\text{млн}}{\text{мм}^3} = 5000000 \cdot 5000000 = 25 \cdot 10^{12} = 25000000000000$$
3. Определим общую длину ряда эритроцитов, если каждый эритроцит имеет диаметр \frac{3}{400} мм:
   $$L = 25 \cdot 10^{12} \cdot \frac{3}{400} \text{ мм} = \frac{75 \cdot 10^{12}}{400} \text{ мм} = 0.1875 \cdot 10^{12} \text{ мм} = 187500000000 \text{ мм}$$
4. Переведем миллиметры в метры (1 м = 1000 мм):
   $$L = \frac{187500000000}{1000} \text{ м} = 187500000 \text{ м}$$
5. Переведем метры в километры (1 км = 1000 м):
   $$L = \frac{187500000}{1000} \text{ км} = 187500 \text{ км}$$

Ответ: 187 500 км

---

476

Необходимо доказать равенство:

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}.$$

Используем равенства, которые даны в условии:

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$$ $$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$$ $$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$$ $$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$$ $$\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13})$$ $$\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15})$$

Подставим в левую часть исходного равенства:

$$\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) =$$

$$\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15}) =$$ $$\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{1}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$$

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Равенство доказано.