Ответ:

Правильная вставка НЕ:

  1. Неспелый чай был ещё горячим — слитное написание: нет противопоставления и зависимых слов.
  2. Чай, не остывший к утру, покрылся плёнкой — раздельное написание: есть зависимое слово к утру.
  3. Работа не сделана, сроки поджимают — раздельное написание: краткое причастие.
  4. Недосоленный суп пришлось досаливать — слитное написание: значение неполноты действия, приставка недо-.
  5. Ненавидимый человек говорил прямо — слитное написание: слово без НЕ практически не употребляется в данном значении.
  6. Незамеченная вовремя ошибка привела к проблеме — слитное написание: нет противопоставления, зависимое слово не препятствует слитному написанию, так как причастие имеет значение признака.
  7. Не законченный, а только начатый рассказ лежал в папке — раздельное написание: есть противопоставление с союзом а.

Ответ: неспелый; не остывший; не сделана; недосоленный; ненавидимый; незамеченная; не законченный.