Ответ:

Грамматические основы выделены полужирным. Подлежащее в каждом предложении указано первым.

  1. Мы долго бродили по осеннему лесу в поисках грибов. Основа: мы бродили. Подлежащее мы выражено личным местоимением.
  2. Жить — родине служить. Основа: жить — служить. Подлежащее и сказуемое выражены неопределёнными формами глаголов.
  3. Отдыхающие весело проводили время на песчаном берегу реки. Основа: отдыхающие проводили. Подлежащее отдыхающие выражено субстантивированным причастием.
  4. Около пяти километров отделяло нашу деревню от железнодорожной станции. Основа: около пяти километров отделяло. Подлежащее выражено количественно-именным сочетанием: числительное с зависимым существительным.
  5. Вдали послышалось раскатистое «ура», и солдаты бросились в атаку. Основы: «ура» послышалось; солдаты бросились. В первой части подлежащее «ура» выражено междометием, употреблённым как существительное; во второй солдаты — именем существительным.
  6. Несколько человек оглянулись на странный шум у ворот. Основа: несколько человек оглянулись. Подлежащее выражено количественно-именным сочетанием.
  7. Наконец-то наступило долгожданное завтра. Основа: долгожданное завтра наступило. Подлежащее завтра — существительное; определение долгожданное согласуется с ним.
  8. Курить — здоровью вредить. Основа: курить — вредить. Подлежащее и сказуемое выражены неопределёнными формами глаголов.
  9. Что написано пером, того не вырубишь топором. Основы: что написано; не вырубишь. В первой части подлежащее что выражено местоимением. Вторая часть — односоставная определённо-личная по форме, обобщённо-личная по смыслу; подлежащего в ней нет.
  10. Лучший из учеников был награждён почётной грамотой. Основа: лучший из учеников был награждён. Подлежащее выражено субстантивированным прилагательным с зависимыми словами.
  11. Раненый быстро шёл на поправку благодаря заботе врачей. Основа: раненый шёл. Подлежащее выражено субстантивированным причастием.