Упражнение 30. Найдите \(\sin 2\alpha\) и \(\cos 2\alpha\), если \(\sin \alpha=\frac{3}{7}\).

Используем формулы двойного угла. Из равенства \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) получаем \(\cos\alpha=\pm\frac{2\sqrt{10}}{7}\).

Тогда \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\pm\frac{12\sqrt{10}}{49}\). Знак зависит от того, в какой четверти находится угол \(\alpha\). Также \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{9}{49}=\frac{31}{49}\).

Ответ: \(\sin 2\alpha=\pm\frac{12\sqrt{10}}{49}\), \(\cos 2\alpha=\frac{31}{49}\). Если \(\alpha\) — острый угол, то \(\sin 2\alpha=\frac{12\sqrt{10}}{49}\).