Упражнение 34. Прочитай и реши задачу. Вершины A и C треугольника ABC лежат в плоскости α. Через вершину B, не лежащую в плоскости α, проведена прямая, параллельная биссектрисе CM треугольника ABC. Она пересекает плоскость α в точке K. Найди длину отрезка AK, если известно, что AC = 3, BC = 10. Запиши в поле ответа верное число.

Так как точки A и C лежат в плоскости α, прямая AC является линией пересечения плоскости треугольника ABC с плоскостью α. Поэтому точка K лежит на прямой AC.

Пусть биссектриса CM пересекает сторону AB в точке M. По теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{3}{10}\).

Следовательно, \(AB=AM+MB\) состоит из 13 равных долей, причём \(AM\) составляет 3 доли.

Поскольку через B проведена прямая BK, параллельная CM, треугольники \(ABK\) и \(AMC\) подобны. Поэтому:

\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{13}{3}\).

Тогда:

\(AK=AC\cdot\dfrac{13}{3}=3\cdot\dfrac{13}{3}=13\).

Ответ: 13