Упражнение 7. 1. Постройте в координатных осях (x, t) графики скорости двух тел, движущихся равноускоренно: одно — с возрастающей по модулю скоростью, другое — с убывающей. Начальные скорости и ускорения тел соответственно равны: 1 м/с и 0,5 м/с²; 9 м/с и 1,5 м/с². Какой путь пройдет второе тело до остановки? Через какое время скорости обоих тел станут одинаковыми и какой путь пройдет за это время первое тело?

Будем считать, что у первого тела скорость возрастает, а у второго убывает. Тогда проекции скоростей заданы формулами: \(v_1(t)=1+0.5t\), \(v_2(t)=9-1.5t\), где время измеряется в секундах, а скорость — в м/с.

Второе тело остановится, когда его скорость станет равной нулю:

\(9-1.5t=0\), откуда \(t=6\) с.

До остановки второе тело движется в одном направлении, поэтому пройденный им путь равен площади под графиком скорости, то есть \(s_2=\frac{9\cdot6}{2}=27\) м.

Скорости сравняются, когда \(1+0.5t=9-1.5t\). Тогда \(2t=8\), следовательно, \(t=4\) с. За это время первое тело пройдет \(s_1=v_{01}t+\frac{a_1t^2}{2}=1\cdot4+\frac{0.5\cdot4^2}{2}=8\) м.

Графики — прямые на плоскости \((t,v)\): первый проходит через точки \((0;1)\) и \((4;3)\), второй — через \((0;9)\) и \((6;0)\). Их пересечение соответствует моменту \(t=4\) с и скорости \(3\) м/с.

Ответ: второе тело пройдет до остановки 27 м; скорости сравняются через 4 с; первое тело за это время пройдет 8 м.