Упражнение. На клетчатой бумаге проведён отрезок AB (рис. 27). Отметьте в её узлах как можно больше таких точек C, чтобы треугольник ABC был равнобедренным.

Обозначим узлы сетки координатами: столбцы — от 0 до 6 слева направо, строки — от 0 до 6 сверху вниз. По рисунку \(A=(2,6)\), \(B=(3,3)\). Стороны треугольника могут быть равны тремя способами: \(CA=CB\), \(CA=AB\) или \(CB=AB\).

1. Если \(CA=CB\), точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. На сетке это узлы \((1,4)\) и \((4,5)\).

2. Если \(CA=AB\), учитываем, что от A до B — 1 клетка вправо и 3 вверх. На сетке подходят узлы \((1,3)\) и \((5,5)\), кроме самого B.

3. Если \(CB=AB\), на сетке подходят узлы \((2,0)\), \((4,0)\), \((4,6)\), \((0,2)\), \((6,2)\), \((0,4)\), \((6,4)\); точку A исключаем.

Эти группы не пересекаются, поэтому всего можно отметить 11 точек C.

На рисунке отмечены все 11 подходящих узлов; A и B не считаются точками C.